“否命题”与“命题的否定”辨析
张志强 2009-6-17
如何正确地表达一个“命题的否定”及“否命题”是“简易逻辑”中的难点之一。有些同学在写原命题的否命题时，仅写了对结论的否定；还有一些同学用反证法证明问题时，却假设条件和结论都不成立。说明他们混淆了“否命题”与“命题的否定”这两个概念。事实上“否命题”与“命题的否定”是两个根本不同的概念，如果原命题是“若p则q”，那么这个命题的否命题是“若非p，则非q”，而这个命题的否定是“若p则非q”。可见，否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论。
一般地，“都”表示全部，“不都”表示不是全部，它包含一部分或没有，而“都不”表示全不，即一个也没有。如命题“a、b都是零”的否定不是“a、b都不是零”，而是“a、b不都是零”，即“a、b中至少有一个不为零”。因为“a、b都是零”是复合命题“p且q”的形式，其否定应该为“非p或非q”，也就是“a=0且b=0”的否定应为“”，即“a、b中至少有一个不为零”。
对“全”、“都”的否定，只需在其前面加一个“不”即可，而对“一定”的否定却不一样。因两者的词性不同，“全”、“都”是副词，是对某一个范围而言的；而“一定”是一个语气助词，带强调意味，这两者有一定区别。因此，在对“一定”、“一定都”的否定时，可分两步，先将“一定”两字拿下，否定后放在“不”的前面。如对命题“三角形两边之和一定大于第三边”的否定，先是“三角形两边之和不大于第三边”，后得“三角形两边之和一定不大于第三边”。又如对命题“在△ABC中，若∠A是直角，则∠B、∠C一定是锐角”的否定，这里的“一定是”含有“两个角一定都是”之意，因此可先否定“在△ABC中，若∠A是直角，则∠B、∠C不都是锐角”，再放上“一定”得：“在△ABC中，若∠A是直角，则∠B、∠C一定不都是锐角”。
例1. 原命题：
（1）若一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角都为锐角；
（2）菱形的对角线互相垂直；
（3）面积相等的三角形是全等三角形。
写出原命题的否定和否命题。
解：（1）原命题的否定：若一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角不都为锐角。原命题的否命题为：若一个三角形不为锐角三角形，则它的三个内角不都为锐角。
（2）原命题的否定：菱形的对角线不互相垂直。原命题的否命题：非菱形的四边形的对角线不互相垂直。
（3）原命题的否定：面积相等的三角形不是全等三角形。原命题的否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形。
评析：“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”，“至少有一个”的否定是“一个都没有”，“所有的”的否定是“某些”，“任意的”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”，“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”，“任意两个”的否定是“某两个”。像这类否定同学们不妨探究一下。
例2. 已知。试判断
错解：
所以，，也就是的既不充分也不必要条件。
解：上述解法的错误在于由时，简单地认为“>”的否定是“”。事实上，，因此，，即。
。
故。
评析：在处理含有不等式的逻辑问题时，注意符号“”的真正含义。符号“”是由“>”与“=”复合而成，因此，解题时可以将“”分解成“>”与“=”，所以解不等式可以转化为求不等式和方程的解集的并集，也可以转化为求的解集的补集。对于“非p”形式的命题，不能机械地进行否定，要注意对命题进行整体考虑或考虑“p”与“”的真假，不能与真值表相悖。
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